БІБЛІОТЕКА ЧЕРКАСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО БІЗНЕС-КОЛЕДЖА

Кафедра фундаментальних та природничих дисциплин

УДК 512.64+514.12(072) Рекомендовано до друку рішенням методичної ради Черкаського державного бізнес-коледжу Протокол № 5 від 17 вересня 2002 р. Укладач: Бакланова М.Л. Лінійна і векторна алгебра та аналітична геометрія Навчально-методичний посібник Черкаси, 2002 - 208с. Рецензент : Триус Ю.В., кандидат фізико-математичних наук, доцент (Черкаський державний університет ім. Богдана Хмельницького)

Навчальний посібник відповідає програмі з курсу „Лінійна алгебра та аналітична геометрія” для студентів вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації, що навчаються за спеціальністю „Програмування для електронно-обчислювальної техніки та автоматизованих систем”; охоплює такі математичні дисципліни, як лінійна алгебра, аналітична геометрія, векторна алгебра, причому в дещо більшому обсязі, ніж передбачено програмою, так як студентам запропоновано додатково теми: комплексні числа, елементи теорії многочленів, знання з яких будуть застосовані при вивченні математичного аналізу. Перша частина навчального посібнику являє собою безпосереднє викладення тем, кожна з яких складається з: § необхідного і достатнього теоретичного матеріалу; § великої кількості розв’язаних прикладів з детальними коментарями; § переліку питань для самоперевірки рівня теоретичних знань; § набору вправ для відпрацювання та закріплення умінь і навичок. Друга частина – це сукупність додатків, перший з яких містить розрахункові роботи до кожної пари тем; другий являє собою набір основних означень і формул шкільного курсу, необхідних для опрацювання матеріалу даного посібника, та списку використаної літератури, яка водночас є і рекомендованою тим студентам, які захочуть показати відмінні знання чи написати реферати, перелік тем яких також міститься в третій частині. Даний навчальний посібник може бути рекомендований студентам інших спеціальностей ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації, що вивчають елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії в курсі вищої математики.

Зміст

	ПЕРЕДМОВА	7
1	ВИЗНАЧНИКИ. ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА СПОСОБИ ОБЧИСЛЕННЯ	9
1.1	Означення визначника n-го порядку	9
1.2	Основні властивості визначників	12
1.3	Розклад визначника за елементами рядка або стовпця	13
1.4	Методи обчислення визначників	14
1.4.1	Метод Гаусса	14
1.4.2	Метод зведення визначника до трикутного вигляду	15
1.5	Питання для самоперевірки	16
1.6	Вправи	17
2	Матриці	19
2.1	Початкові відомості про матриц	19
2.2	Операції над матрицями та їхні властивості	21
2.2.1	Додавання, віднімання матриць і множення матриць на число	21
2.2.2	Множення матриць	22
2.2.3	.Транспонування матриць	23
2.2.4	Обернена матриця	24
2.2.4.1	Обчислення оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповнень	25
2.2.4.2	Знаходження оберненої матриці елементарними перетвореннями	26
2.3	Матричні рівняння	27
2.4	Питання для самоперевірки	28
2.5	Вправи	28
3	Системи лінійних рівнянь	30
3.1	Загальні відомості про системи лінійних рівнянь	30
3.2	Матриця системи лінійних рівнянь, її ранг та способи його обчислення, ознака сумісності та визначеності	32
3.2.1	Матриця системи лінійних рівнянь	32
3.2.2	Ранг матриці системи лінійних рівнянь	33
3.2.2.1	Обчислення рангу матриці методом обвідних мінорів	33
3.2.2.2	Обчислення рангу матриці зведенням матриці до ступінчастого вигляду	34
3.2.3	Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь	35
3.3	Питання для самоперевірки	36
3.4	Вправи	36
4	Способи розв’язання систем лінійних рівнянь	38
4.1	Метод Гаусса	38
4.2	Формули Крамера	42
4.3	Матричний спосіб	44
4.4	Питання для самоперевірки	46
4.5	Вправи	46
5	Комплексні числа та дії над ними	47
5.1	Введення поняття комплексного числа	47
5.2	Алгебраїчна форма запису комплексних чисел та дії над комплексними числами, записаними у цій формі	48
5.3	Геометричне зображення комплексного числа	50
5.4	Тригонометрична форма комплексного числа. дії над комплексними числами, заданими у тригонометричній формі	53
5.5	Показникова функція з комплексним показником. Формули Ейлера. Показникова форма комплексного числа	57
5.6	Питання для самоперевірки	59
5.7	Вправи	59
6	Елементи теорії многочленів	61
6.1	Многочлен від однієї змінної та його канонічна форма	61
6.2	ПОДІЛЬНІСТЬ МНОГОЧЛЕНІВ	64
6.3	РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА НЕЗВІДНІ МНОЖНИКИ	68
6.4	КОРЕНІ МНОГОЧЛЕНА. СХЕМА ГОРНЕРА	70
6.5	МНОГОЧЛЕНИ НАД РІЗНИМИ ЧИСЛОВИМИ ПОЛЯМИ	71
6.5.1	МНОГОЧЛЕНИ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ	71
6.5.2	МНОГОЧЛЕНИ НАД ПОЛЕМ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ	72
6.5.3	МНОГОЧЛЕНИ НАД ПОЛЕМ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ	72
6.6	МЕТОД НЕВИЗНАЧЕНИХ КОЕФІЦІЄНТІВ	73
6.7	ПОЛЕ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННО	74
6.7.1	ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ	74
6.7.2	РОЗКЛАДАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ НА ЕЛЕМЕНТАРНІ ДРОБИ	75
5.6	Питання для самоперевірки	77
5.7	Вправи	78
7	Вектори в звичайному та лінійному просторі	79
7.1	Основні поняття векторної алгебри	79
7.2	Лінійні операції над векторами	81
7.3	Лінійна залежність векторів	82
7.4	Поняття базису	83
7.5	Лінійний простір	84
7.5.1	Означення лінійного простору	84
7.5.2	Властивості лінійного простору	85
7.5.3	Розмірність лінійного простору	86
7.6	Питання для самоперевірки	88
7.7	Вправи	89
8	Вектори та їхні добутки в системах координат	91
8.1	Системи координат	91
8.1.1	Проекція вектора на вісь	91
8.1.2	Афінна система координат	92
8.1.3	Декартова прямокутна система координат	93
8.1.4	полярна система координат	94
8.1.5	Циліндрична та сферична системи координат	95
8.2	Вектори в декартовій прямокутній системі координат	96
8.2.1	Координати, довжина та напрямні косинуси вектора	96
8.2.2	Лінійні дії з векторами. Рівність та колінеарність векторів	98
8.2.3	Поділ відрізка в даному відношенні. Координати центра мас	99
8.3	Добутки векторів	100
8.3.1	Скалярний добуток двох векторів	101
8.3.2	Векторний добуток двох векторів	103
8.3.3	Мішаний добуток векторів	104
8.3.4	Подвійний векторний добуток	106
8.4	Питання для самоперевірки	107
8.5	Вправи	108
9	Пряма на площині	111
9.1	Лінії і-го порядку на площині та їхні рівняння	111
9.1.1	Поняття про лінію та її рівняння	111
9.1.2	Види рівнянь лінії	112
9.1.2.1	Полярне рівняння Лінії	112
9.1.2.2	Параметричні рівняння лінії	113
9.1.3.3	векторне рівняння лінії	114
9.2	пряма на площині та її рівняння	115
9.2.1	Різні види рівнянь прямої на площині	115
9.2.2	Загальне рівняння прямої та його дослідження	119
9.2.3	Взаємне розташування прямих на площині	121
9.2.4	Відстань від точки до прямої на площині. Рівняння бісектрис кута між прямими	125
9.3	Питання для самоперевірки	127
9.4	Вправи	127
10	лінії другого порядку на площині	130
10.1	поняття Лінії Іі-го порядку	130
10.2	Коло	131
10.3	еліпс	132
10.3.1	Канонічне рівняння еліпса	132
10.3.2	дослідження форми еліпса	133
10.3.3	інші види та побудова еліпса	135
10.4	гіпербола	135
10.4.1	Канонічне рівняння гіперболи	135
10.4.2	дослідження форми гіперболи	137
10.4.3	асимптоти гіперболи. інші види гіперболи	138
10.5	ексцентриситет і директриси еліпса та гіперболи	140
10.6	парабола	142
10.6.1	Канонічне рівняння параболи	142
10.6.2	дослідження форми та побудова параболи	143
10.7	полярне та параметричні рівняння ліній іі-го порядку	145
10.8	спрощення загального рівняння кривої другого порядку	147
10.9	Питання для самоперевірки	151
10.10	Вправи	152
11	пряма та площина у просторі	155
11.1	площина у просторі	155
11.1.1	Різні види рівняння площини	155
11.1.2	дослідження загального рівняння площини	158
11.1.3	взаємне розташування площин	159
11.1.4	відстань від точки до площини	160
11.2	пряма в просторі	161
11.2.1	Різні види рівнянь прямої в просторі	161
11.2.2	взаємне розташування прямих в просторі	164
11.3	Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини	165
11.4	Питання для самоперевірки	170
11.5	Вправи	170
12	поверхні другого порядку	173
12.1	поняття поверхні другого порядку	173
12.2	класи поверхонь	174
12.2.1	циліндричні поверхні	174
12.2.2	поверхні обертання	176
12.2.3	конічні поверхні	177
12.3	сфера	178
12.4	еліпсоїд	180
12.5	гіперболоїд	181
12.5.1	однопорожнинний гіперболоїд	181
12.5.2	двопорожнинний гіперболоїд	182
12.6	параболоїд	182
12.6.1	еліптичний параболоїд	183
12.6.2	гіперболічний параболоїд	183
12.7	лінійчаті поверхні	183
12.8	Питання для самоперевірки	185
12.9	Вправи	186
	додаток 1. Розрахункові роботи	187
	додаток 2. довідник	195
	Теми рефератів та доповідей	206
	список рекомендованої та використаної літератури	207
	ПРО АВТОРА	208

@    черкаський державний бізнес-коледж